Một số đề thi vào 10 các trường chuyên môn Toán

Để Thi tuyển sinh lớp 10 - THPT năm 2006 - 2007 - Hải dương 
120 phút - Ngày 28 / 6 / 2006 
 Câu 1 ( 3 điểm ) 
	1) Giải các phơng trình sau : 
	a) 4x + 3 = 0 
	b) 2x - x2 = 0 
	2) Giải hệ phơng trình : 
Câu 2( 2 điểm ) 
	1) Cho biểu thức : P = 
	a) Rút gọn P . 
	b) Tính giá trị của P với a = 9 . 
	2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số ) 
	a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại . 
	b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 
Câu 3 ( 1 điểm ) 
	Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km . Một ô tô đi từ A đến B , nghỉ 90 phút ở B , rồi lại từ B về A . Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ . Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h . Tính vận tốc lúc đi của ô tô . 
Câu 4 ( 3 điểm ) 
	 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N 
	Chứng minh : 
	a) CEFD là tứ giác nội tiếp . 
	b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 
	c) BE . DN = EN . BD 
Câu 5 ( 1 điểm ) 
	Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 . 
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
a) Giải phương trình (1 + x)4 = 2(1 + x4).
b) Giải hệ phương trình 
a) Phân tích đa thức x5 – 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba với hệ số nguyên.
b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức .
Cho D ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC.
Cho é xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định.
Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên.
Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải hệ phương trình 
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có : n3 + 5n 6.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : .
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q là các điểm bất kỳ lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh rằng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2 .
b) Giả sử M là một điểm cố định trên cạnh AB. Hãy xác định vị trí các điểm N, P, Q lần lượt trên các cạnh BC, CD, DA sao cho MNPQ là một hình vuông.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên
a) GiảI phương trình .
b) GiảI hệ phương trình : 
Các số a, b thỏa mãn điều kiện : 
Hãy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 .
Cho các số a, b, c ẻ [0,1]. Chứng minh rằng {Mờ}
Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B cố định trên (O) sao cho AB < 2R. Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường tròn vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N. Gọi J là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của M để chu vi D AMB là lớn nhất.
a) Tìm các số nguyên dương n sao cho mỗi số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của một số nguyên dương.
b) Cho các số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
a) GiảI phương trình .
b) GiảI hệ phương trình : 
Tìm max và min của biểu thức : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x ³ 0, y ³ 0, x + y ≤ 6.
Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng .
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôI một khác nhau sao cho biểu thức nhận giá trị nguyên dương.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
a) Rút gọn biểu thức .
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử.
a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện hãy tính giá trị của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2.
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng 
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Cho trước a, d là các số nguyên dương. Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d,  , a + nd, 
Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991.
Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho é MAB = é MBA = 150 . Chứng minh rằng D MCD đều.
Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biêu thức nguyên.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì biểu thức m2 + m + 1 không phảI là số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì m(m + 1) không thể bằng tích của 4 số nguyên liên tiếp.
Cho D ABC vuông cân tại A. CM là trung tuyến. Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC tại H. Tính tỉ số .
Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kì thì có ít nhất 2 thnàh phố liên lạc được với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
a) GiảI phương trình 
b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ 
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 .
Cho D ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm cảu đường tròn ). Gọi M và N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB và BC; P và Q lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC và bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
giảI phương trình 
GiảI hệ phương trình 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x, y là các số thực lớn hơn 1.
Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho é MAB = é MBC = é MCD = é MDA.
b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn (S) và (S’) có các đường kính tương ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy số x0, x1, x2 , xn,  được xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số {x1, x2, , x199} có bao nhiêu số khác 0 ?
Đề thi thử vào THPT Chu Văn An 2004
Cho biểu thức 
a) Rút gọn P
b) Cho . Hãy tính giá trị của P.
Cho phương trình mx2 – 2x – 4m – 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình (1) nhận x = là nghiệm, hãy tìm nghiệm còn lại.
b) Với m ạ 0
	Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt.
	Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các nghiệm x1, x2 trên trục số. Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng AB không đổi (Không chắc lắm) 
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M di động trên đường tròn (M khác A, B) Gọi CD lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AM và BM.
a) Chứng minh rằng CD = R và đường thẳng CD luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường thẳng AM. đường thẳng OD cắt dây BM tại Q và cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai S. Tứ giác APQS là hình gì ? Tại sao ?
c) đường thẳng đI qua A và vuông góc với đường thẳng MC cắt đường thẳng OC tại H. Gọi E là trung điểm của AM. Chứng minh rằng HC = 2OE.
d) Giả sử bán kính đường tròn nội tiếp D MAB bằng 1. Gọi MK là đường cao hạ từ M đến AB. Chứng minh rằng :
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32.
Giải hệ phương trình : 
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 .
đường tròn (O) nội tiếp D ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Đường tròn tâm (O’) bàng tiếp trong góc é BAC của D ABC tiếp xúc với BC và phần kéo dài của AB, AC tương ứng tại P, M, N.
a) Chứng minh rằng : BP = CD.
b) Trên đường thẳng MN lấy các điểm I và K sao cho CK // AB, BI // AC. Chứng minh rằng : tứ giác BICE và BKCF là hình bình hành.
c) Gọi (S) là đường tròn đi qua I, K, P. Chứng minh rằng (S) tiếp xúc với BC, BI, CK.
Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện : 
Tìm min của .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Tím các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : .
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng 
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I. Giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn , Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích D KAB theo R khi M, N thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán. 
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ³ 3.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên
a) Giải phương trình : .
	b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9
Giải hệ phương trình : {M}
Cho mười số nguyên dương 1, 2, , 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý vào một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Đường tròn (C) tâm I nội tiếp D ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A’, B’, C’ .
a) Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kðo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp D ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng trong đó r là bán kính đường tròn (C) .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên
a) Giải phương trình : 
	b) Giải hệ phương trình :
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: Trong đó x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3.
Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng D) sao cho é MAN = é MAB + é NAD.
a) BD cắt AN, AM tương ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của D APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ số không đổi khi M, N thay đổi.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên
Tìm các gia trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + 1 = y2 .
a) Giải phương trình : .
	b) Giải hệ phương trình : 
Cho nửa vòng tròn đường kính AB=2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ 2 tia Mx và My sao cho é AMx =é BMy =300 . Tia Mx cắt nửa vòng tròn ở E, tia My cắt nửa vòng tròn ở F. Kẻ EE’, FF’ vuông góc với AB.
a) Cho AM= a/2, tính diện tích hình thang vuông EE’F’F theo a.
b) Khi M di động trên AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
Giả sử x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn : .Hãy tính giá trị của .
Với x, y, z là các số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Đề thi vào 10 năm 1989-1990 Hà Nội
Xét biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị x để A = -1/2 .
Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB.
Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kì trên cạnh BC. Tia Ax ^ AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của D AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G. 
a) Chứng minh rằng AE = AF.
b) Chứng minh rằng tứ giác EGFK là hình thoi.
c) Chứng minh rằng hai tam giác AKF , CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF.
d) Giả sử E chạy trên cạnh BC. Chứng minh rằng EK = BE + điều kiện và chu vi D ECK không đổi.
Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001. (1)
Tìm n nguyên dương thỏa mãn : 
Cho biểu thức 
a) Với giá trị nào của x thì A xác định.
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Cho D ABC đều cạnh a. Điểm Q di động trên AC, điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho AQ. BP = a2 . Đường thẳng AP cắt đường thẳng BQ tại M. 
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn .
b) Tìm giá trị lớn nhất của MA + MC theo a.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng sin750 = 
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001. (2)
Cho biểu thức .
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ạ ±1.
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Chứng minh rằng phương trình : có hai nghiệm
x1 = và x2 = .
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB. Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN không đổi.
c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích D NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi D NPQ đại giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm quỹ tích điểm E.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên
a) Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên hay không ? Tại sao ?
b) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức : 
Giải phương trình 
Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ : 
Tính giá trị của các biểu thức và 
Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm là O. Gọi d, d’ là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A, B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d ở M, còn cạnh kia cắt d’ ở N. kẻ OH ^ MN. Vòng tròn ngoại tiếp D MHB cắt d ở điểm thứ hai là E khác M. MB cắt NA tại I, đường thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một đường tròn cố đinh khi góc vuông uqay quanh đỉnh O.
Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền được sơn một mặt màu đỏ và một mặt màu xanh. Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau. Hỏi với cánh làm như thế sau một số hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía trên được hay không ? Tại sao ?
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học sư phạm HN
Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x 
Với mỗi số nguyên dương n, đặt Pn = 1.2.3.n. Chứng minh rằng 
a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +.+ n.Pn = Pn+1 .
b) 
Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chình phương.
Xét phương trình ẩn x :	
a) Giải phương trình ứng với a = -1.
b) Tìm a để phương trình trên có đúng ba nghiệm phân biệt.
Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J tương ứng.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cùng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho EJ = JI = IF.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học sư phạm HN
Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
Tìm tất cả bộ ba số dương thỏa mãn hệ phương trình :
Giải phương trình : 
	.
Mỗi bộ ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn phương trình x2+y2+z2=3xyz được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình này.
a) Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dương khác của phương trình đã cho.
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.
Cho D ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Giả sử d cắt lại đường tròn (O) tại E (khác A), MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng :
a) D ACN đồng dạng với D MBA. D MBC đồng dạng với D BCN.
b) tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp
c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
a) Tính .
b) GiảI hệ phương trình : 
a) Giải phương trình 
b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình 
 có ít nhất một nghiệm nguyên.
Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F như hình 
a) Chứng minh rằng .
b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang ABCD.
Cho x, y là hai số thực bất kì khác không.
Chứng minh rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2005 Đại học khoa học tự nhiên
Giải hệ phương trình : .
Giải phương trình : .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 17y2 + +34xy + 51(x + y) = 1740.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B. Một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cắt AB tại I, tiếp xúc (O) tại C và (O’) tại D. Biết rằng C nằm giữa I và D.
a) Hai đường thẳng OC và O’B cắt nhau tại M. Chứng minh rằng OM > O’M.
b) Ký hiệu (S) là đường tròn đi qua A, C, B và (S’) là đường tròn đi qua A, D, B. Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt (S’) tại F khác D. Chứng minh rằng AF ^ BE.
Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .