Tóm tắt Kiến thức Hình học 10

CHƯƠNG I: VECTƠ
Bài 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Để xác định một vectơ cần biết một trong hai điều kiện sau:
	- Điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
	- Độ dài và hướng.
2. Hai vectơ và được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
 Nếu hai vectơ và cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
3. Đô dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
4. = khi và chỉ khi và , cùng hướng.
5. Với mỗi điểm A ta gọi là vectơ – không. Vectơ – không được kí hiệu là và quy ước rằng vectơ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Xác định một vec tơ, sự cùng phương và hướng của hai vec tơ.
@ Phương pháp:
Để xác định vec tơ ta cần biết và hướng của hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của . Chẳng hạn,với hai điểm phân biệt A và B ta có hai vec tơ khác vec tơ là 
Vec tơ là vec tơ – không khi và chỉ khi = 0 hoặc với A là điểm bất kì.
Dạng 2: Chứng minh hai vec tơ bằng nhau.
@ Phương pháp: Để chứng minh hai vec tơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau:
* .
* Tứ giác ABCD là hình bình hành .
* Nếu 
Bài 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ
Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng.
Cho hai vec tơ tùy ý . Lấy điểm A tùy ý, dựng . Khi đó .
Với ba điểm M, N và P tùy ý ta luôn có: (quy tắc 3 điểm)
A
B
D
C
Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có: (quy tắc hình bình hành).
Định nghĩa vec tơ đối.
* Cho vectơ . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
* Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của là , nghĩa là 
* Vectơ đối của là .
3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu.
Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ: Với ba điểm bất kì O, A, B ta có .
Lưu ý: I là trung điểm AB .
G là trọng tâm tam giác ABC 
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tổng của hai vec tơ và tổng của nhiều vec tơ.
@ Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai vec tơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vec tơ.
Dạng 2: Tìm vecto đối và hiệu của hai vec tơ
@ Phương pháp: 
Theo định nghĩa, để tìm hiệu , ta làm hai bước sau:
Tìm vec tơ đối của .
Tính tổng 
Vận dụng quy tắc với ba điểm O, A, B bất kì.
Dạng 3: Tính độ dài của 
@ Phương pháp: Đầu tiên tính . Sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào các đa giác mà ta có thể tính được độ dài các cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp khác.
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vec tơ.
@ Phương pháp: Mỗi vế của một đẳng thức vec tơ gồm các vec tơ được nối với nhau bởi các phép toán vecto. Ta dùng quy tắc tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cà hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. Ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vec tơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vec tơ được công nhận là đúng. 
Bài 3: TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ.
Định nghĩa: Cho số và vec tơ .Tích của vec tơ với số k là một vec tơ, kí hiệu là , cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng .
Các tính chất., ta có:
; 	; 
; 	
; 	
Hai vec tơ cùng phương khi và chỉ khi có số k để . Cho hai vec tơ cùng phương, . Tìm số k để và khi đó số k tìm được là duy nhất.
Áp dụng:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng với số k xác định.
I là trung điểm của đoạn thẳng AB .
G là trọng tâm tam giác ABC 
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Xác định vec tơ .
@ Phương pháp: Dựa vào định nghĩa vec tơ 
* .
- Nếu k > 0, .
- Nếu k < 0, .
* 	
* 
Dạng 2: Phân tích (biểu thị) một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương.
@ Phương pháp:	
a/ Để phân tích vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương ta làm như sau:
Vẽ hình bình hành OA’CB’ có hai đỉnh O, C và hai cạnh OA’ và OB’ lần lượt nằm trên hai giá của . Ta có: 
Xác định số h để . Xác định số k để . Khi đó .	
b/ Có thể sử dụng linh hoạt các công thức sau:
* , với ba điểm O, A, B bất kì.
* nếu tứ giác ABCD là hình bình hành.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song.
@ Phương pháp:	 Dựa vào các khẳng định sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng cùng phương.
Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB // CD.
Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức vec tơ có chứa tích của vec tơ với một số.
@ Phương pháp:	
Sử dụng tính chất tích của vec tơ với một số.
Sử dụng các tính chất của: ba điểm thẳng hàng, trung điểm của một đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.
Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức vec tơ.
@ Phương pháp:	 Sử dụng các khẳng định và các công thức sau:
;
Cho điểm A và cho . Có duy nhất điểm M sao cho 
Bài 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Trục và độ dài đại số trên trục
Cho điểm A và B trên trục . Khi đó có duy nhất số a sao cho . Ta gọi a đó là độ dài đại số của vec tơ đối với trục đã cho và kí hiệu: .
Nếu cùng hướng với thì , còn nếu ngược hướng với thì .
Nếu hai điểm A và B trên trục có tọa độ lần lượt là a và b thì 
Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
* 
* M(x;y) với O là gốc tọa độ. 
* Cho hai điểm , ta có: 
3. Tọa độ của các vec tơ , , 
 	Cho , . Khi đó:
; ; 
 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ trọng tâm của tam giác.
a) Cho , và là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có: 
b) Cho tam giác ABC có , , , Ta có toạ độ trọng tâm của tam giác ABC được tính theo công thức: 
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tọa độ của điểm và độ dài đại số của một vec tơ trên trục .
@ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của điểm và độ dài đại số của vec tơ.
Điểm M có tọa độ a với O là điểm gốc.
Vec tơ có độ dài đại số là ..
Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a và b thì 
Dạng 2: Xác định tọa độ cùa vec tơ và của điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
@ Phương pháp: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của moat vec tơ và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Để tìm tọa độ của vec tơ ta làm như sau: Vẽ vec tơ Gọi hai điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox và Oy. Khi đó trong đó .
Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vec tơ . Như vậy A có tọa độ là (x;y) trong đó ; A1 và A2 tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy.
Nếu biết tọa độ của hai điểm A, B ta tính được tọa độ của vec tơ theo công thức: .
Dạng 3: Tìm tọa độ của các vec tơ 
@ Phương pháp: 
Tính theo các công thức tọa độ của 
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song bằng tọa độ.
@ Phương pháp: Sử dụng các điều kiện can và đủ sau:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng .
Hai vec tơ cùng phương 
Dạng 5: Tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm của tam giác.
@ Phương pháp: Sử dụng các công thức sau:
Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu mút.
Tọa độ của trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của ba đỉnh.
CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
Định nghĩa.
Với mỗi góc a () ta xác định một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao cho và giả sử điểm M có toạ độ . Khi đó ta định nghĩa: 
* sin của góc a là y0, ký hiệu ;
* côsin của góc a là x0, ký hiệu ;
* tang của góc a là , ký hiệu ;
* côtang của góc a là , ký hiệu ;
Các số sina, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc a.
@ Chú ý: + Nếu a là góc tù thì cosa<0, tana<0, cota<0.
 + tana chỉ xác định khi , cota chỉ xác định khi và 
Các hệ thức lượng giác.
sina=sin(1800-a)
cosa= - cos(1800-a)
tana= - tan(1800-a)
cota= - cot(1800-a)
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
 Gi¸ trÞ 
l­ỵng gi¸c
0 (00)
 (300)
(450)
 (600)
 (900)
(1800)
 sina
0
1
0
 cosa
1
0
- 1
 tana
0
1
ïï
0
 cota
ïï
1
0
ïï
Góc giữa hai vec tơ.
 Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ và . Góc với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là . Nếu =900 thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc .
Tích vô hướng của hai vec tơ.
a/ Định nghĩa: Cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: 
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước : ()
Chú ý: 
* Với và khác vectơ ta có: 
* Khi tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ 
b/ Các tính chất của tích vô hướng:
Với ba vectơ , , bất kì và mọi số k ta có:
 (tính chất giao hoán)
 (tính chất phân phối)
c/ Biểu thức toạ dộ của tích vô hướng:
 	Trong mặt phẳng toạ độ cho hai vectơ , . Khi đó tích vô hướng là 
Nhận xét: Hai vectơ , khác vectơ - không vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
d/ Độ dài của vectơ:Cho , khi đó: 
e/ Góc giữa hai vectơ: Cho , đều khác vectơ - không, khi đó: 
f/ Khoảng cách giữc hai điểm: 
Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức: 
Các hệ thức lượng trong tam giác.
a/ Định lí cô sin: 
Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:
;	
Hệ quả:
;;
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
 Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi lần lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:
;	 ;	 
b/ Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: 
	c/ Công thức tính diện tích tam giác:	
Diện tích của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:
 	(1)
	(2)
	(3)
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
@ Phương pháp: 
Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ và hoành độ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị với góc và từ đó ta có các giá trị lượng giác: .
Dựa vào tình chất: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau và có côsin, tang, côtang đối nhau.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác.
@ Phương pháp: 
Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc .
Dựa vào tính chất của tổng ba góc của moat tam giác bằng 1800. 
Sử dụng các hệ thức: 
Dạng 3: Cho biết một giá trị lượng giác của góc , tìm các giá trị lượng giác còn lại của .
@ Phương pháp: 
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc và các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị đó như: 
Dạng 4: Tính tích vô hướng của hai vec tơ.
@ Phương pháp: 
Áp dụng công thức của định nghĩa: .
Dùng tính chất phân phối: .
Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức về vec tơ có liên quan đến tích vô hướng.
	@ Phương pháp: 
Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các vec tơ.
Dùng quy tắc ba điểm đối với phép cộng hoặc trừ vec tơ.
Dạng 6: Chứng minh sự vuông góc của hai vec tơ.
Dạng 7: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng: tính độ dài của một vec tơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vec tơ.
@ Phương pháp: 
Cho hai vec tơ . Ta có .
Độ dài vec tơ: , khi đó: .
Góc giữa hai vec tơ , là: .
Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức: 
Dạng 8: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một yếu tố cho trước (trong đó có ít nhất là một cạnh).
@ Phương pháp: 
Sử dụng trực tiếp định lí côsin và định lí sin.
Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để việc giả toán thuận lợi.
Dạng 9: Giải tam giác.
@ Phương pháp: Một tam giác thường được xác định khi biết ba yếu tố. Trong các bài toán giải tam giác, người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau:
Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g, c, g).
Biết một góc và hai cạnh kề góc đó (c, g, c).
Biết ba cạnh (c, c, c).
Để tìm các yếu tố còn lại của tam giác người ta thường sử dụng các định lí cô sin, định lí sin, định lí tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 và đặc biệt có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
CHƯƠNG III:PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
 TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1	PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tham số.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương là: 
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k là: 
Nếu có vec tơ chỉ phương với thì hệ số góc của là 
Nếu có hệ số góc k thì có vec tơ chỉ phương là 
Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ pháp tuyến là: 
Hay ax + by + c = 0 với 
Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình theo đoạn chắn là: 
Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Xét 2 đường thẳng  ; . Toạ độ giao điểm của , là nghiệm của hệ pt : (I). Ta có các trường hợp sau : 
a) Hệ (I) có một nghiệm (x0;y0), khi đó cắt tại M0(x0 ;y0)
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó trùng 
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó //.
Chú ý : Nếu thì :
Góc giữa hai đường thẳng.
Cho 2 đường thẳng :  có vec tơ pháp tuyến và có vec tơ pháp tuyến .
Đặt khi đó: 
Chú ý : 
+ 
+ Nếu 1 và 2 có phương trình y=k1x+m1 và y= k2x+m2 
thì .
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax+by+c=0 và điểm M0(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính bởi công thức:
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Viết phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng.
@ Phương pháp: Để viết PTTS của đường thẳng ta thực hiện các bước sau:
Tìm VTCP của đường thẳng .
Tìm một điểm thuộc .
Phương trình tham số của là: 
Chú ý: 
Nếu có hệ số góc k thì có VTCP .
Nếu có VTPT là thì có VTCP 
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng.
@ Phương pháp: Để viết PTTQ của đường thẳng ta thực hiện các bước sau:
Tìm VTPT của đường thẳng .
Tìm một điểm thuộc .
Viết phương trình theo công thức: 
Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0
Chú ý: 
Nếu đường thẳng cùng phương với đường thẳng d: ax+by+c=0 thì có PTTQ: ax+by+c’=0.
Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: ax+by+c=0 thì có PTTQ: -bx+ay+c”=0.
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
@ Phương pháp: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  ; ta xét các trường hợp sau :
Toạ độ giao điểm của , là nghiệm của hệ pt : 
Góc giữa hai đường thẳng và được tính bởi công thức : 
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
@ Phương pháp: 
Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng : ax+by+c=0 ta dùng công thức: .
Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình đường tròn.
Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R là : 
(x-a)2+(y-b)2=R2
Nếu a2+b2- c > 0 thì phương trình x2+y2-2ax-2by+c=0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính . 
Nếu a2+b2- c = 0 thì chỉ có một điểm I(a;b) thỏa mãn phương trình x2+y2-2ax-2by+c=0 
Nếu a2+b2- c < 0 thì không có điểm M(x;y) nào thỏa mãn phương trình x2+y2-2ax-2by+c=0 
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Cho điểm M0(x0;y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b). Gọi là tiếp tuyến với (C) tại M0 có phương trình: 
(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0.
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
@ Phương pháp: 
Cách 1: - Đưa về phương trình vế dạng: x2+y2-2ax-2by+c=0. (1)
Xét dấu biểu thức: m = a2+b2- c.
Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính: .
Cách 2: - Đưa phương trình về dạng: (x-a)2+(y-b)2=m. (2)
Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ;b), bán kính .
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn.
@ Phương pháp: 
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I(a ;b) của đường tròn (C).
Tìm bán kính R của (C).
Viết phương trình (C) theo dạng : (x-a)2+(y-b)2=R2 (1)
 Chú ý : 
(C) đi qua A, B .
(C) đi qua A và tiếp xúc với đ.thẳng tại A .
(C) tiếp xúc với hai đ.thẳng và .
Cách 2 : 
Gọi ph.trình của đường tròn (C) là x2+y2-2ax-2by+c=0. (2)
Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c.
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn (C). 
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
 	@ Phương pháp: 
	Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) thuộc đường tròn (C).
Tìm tọa độ tâm I(a;b) của (C).
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(x0;y0) có dạng: (x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0.
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của với (C) khi chưa biết tiếp điểm: Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định : tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R 
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
Định nghĩa.
Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F1M+F2M=2a
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2=2c gọi là tiêu cự của elip.
Phương trình chính tắc của elip (E).
*	Cho elip (E) có các tiêu điểm F1(-c,0), F2(c;0). Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi MF1+MF2=2a. (1), trong đó b2=a2-c2.
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.
Các thành phần của elip (E) là:
Hai tiêu điểm: .
Bốn đỉnh: .
Độ dài trục lớn: .
Độ dài trục nhỏ: .
Tiêu cự: 
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó.
@ Phương pháp: 
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.
Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức: 
Ta có các hệ thức:
0 < b < a.
c2=a2-b2.
Độ dài trục lớn: .
Độ dài trục nhỏ: .
Tiêu cự: 
MF1+MF2=2a.
Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip (E).
Hai tiêu điểm: .
Bốn đỉnh: .
Dạng 2: Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó.
@ Phương pháp: 
	Các thành phần của elip 
Độ dài trục lớn nằm trên Ox: .
Độ dài trục nhỏ nằm trên Oy: .
Hai tiêu điểm: với 
Tiêu cự: 
Bốn đỉnh: .
Tỉ số 
Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: .